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汇报一下近期“聚能”的成果，如同之前“创意：DIY一个无镜头的透镜”里面写到的，一个完全黑白的滤镜或者是光栅可以把平行光聚焦到一点，如果搭配一个目镜，可以做成成为一个望远镜，这种望远镜的焦深和景深都非常的短，所以适用于做望远镜，毕竟对无穷远的星体成像，景深没什么关系。但是应用在有限的短距离上，焦深短是个严重的问题。或者说，是个严重的优势。如果目的是把光聚焦在一处的话。 焦深短，意味着在焦点前后，能量密度非常低，而在焦点处，能量密度突然提高，也就是说，空间中一点能量密度极高，而周围都很低。跟凸透镜聚焦不同，凸透镜虽然也是把光聚焦在一点，但是前后毕竟是一个光锥在逐渐缩小、发散。如果光瞳比较小，能量的分布是逐渐增高再降低的。而用这种菲涅耳衍射棱镜，可以让能量的分布呈现出跳跃式的聚集。

这是聚焦到一点，只要再加一个柱镜，把点扩展成线。然后再用平面镜转个角度，那么一把光剑就形成了。你可以在空中控制一个激光能量高度集中的线段，其四周的能量要远远小于线段之上。光剑的好处是不容易伤着自己，毕竟拿一把有限长的剑，要比一把无限长的棍要安全得多。至少不会把自己脚下的地面切开。呵呵。

用来做手术才是非常的华丽啊。也许要5-10年以后才能看到吧。听，手术室离传来嗡嗡的光剑挥舞的声音。这还真是一个神奇的世界啊。

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另外，如同上面看到的。我能够解决某些关键问题，却没有兴趣和能力把其他部分也给解决了，比如生产、制造、找一群老鼠或者人来实验、再写出来发表，这些对我来说太烦了。我相当于狙击手的作用，要让我这样一个狙击手去攻下一座城，实在是太难了，我需要配合的步兵、骑士、巫师。。。 有人报名么？

前几天看到New Scientist上面的一个新闻，讲可以用金属片制造一个没有镜头的望远镜。结合这两个星期钻研傅立叶光学的结果，试着给一个DIY无镜头透镜的方法。

step 1: 计算出需要的图形：

lens(x,y)=round(cos(2*pi/wavelength/f*(x^2+y^2))/2+1/2) 

其中图形lens用的是直角坐标系，中心点是原点（0,0），round是取整函数，wavelength是波长，比如常用的550nM，f是焦距，/2+1/2是为了把cos的值挪到0,1之间，取整以后好变成黑白的。计算的时候注意单位要统一。忘了带傅立叶光学的书回来，大概是这样子，如果错了也是在f那一项的位置可能有些系数上的出入。另外，我很有可能把正负号弄反。多做几个黑白交换的，总有一款正确吧。

看看新闻上的那张图，似乎与我做得类似 

step 2: 打印在透明薄膜上。记得以前老师们经常用一种A4纸大小的透明纸做幻灯，后来逐渐被ppt取代了。一时没有找到在哪里有卖的。如果最终的测试成功，可以去照相馆，洗出一张这样的胶片或者干脆做在玻璃背面。

step 3: 贴在一块玻璃上

step 4: 测试。如果要实用，可能还要再增加一些组件，比如另一个小一点的常规透镜作为目镜。

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* 加入round函数，是为了制作方便，毕竟准确打印cos函数，对打印机、纸张的要求都比较高，反正会有衍射的误差，干脆使用round近似一下。 

* 上面的函数其实是凸透镜的光瞳函数中的实部。 作傅立叶变换后计算功率谱，可以获得一个近似于delta函数的东西，也就是说可以聚焦到一点。

* 焦深很短，不要奢望能用来当放大镜用，最好是用来当望远镜，看星星。如果有兴趣，甚至可以把自家的窗户玻璃贴上这样的贴膜，直接当一块巨大的透镜来使用。看星星，烧开水都行。

* 写程序作图的时候一定要注意像素、dpi和各种长度单位之间的关系。 

* 自己还没有测试过。有测试通过的朋友，记得回个话，让我也高兴一下。

* 如果你能够做严格的数学证明，记得email给我，还有篇文章可以考虑一起发sci，我第一，你第二。 

＝＝＝update===

确认了一下公式，没错，不过cos是偶函数，所以凸透镜和凹透镜似乎一样了。测试的时候也可以用sin。打印4张好了。（cos,sin）×（0=黑,0=白） 

＝＝＝update===

这个透镜会损失一部分能量。但是如果使用波片来做的话，可以达到不损失（几乎）能量。把一个波片贴在玻璃上，用激光把＝0的部分烧掉，或者用雕刻机把＝0的部分刻掉。就是外面那种做模型、奖杯的地方，一般都可以做吧。 

求证：对cos(f(x,y))exp(-i*f(x,y))做二维Fourier Transform以后实部是delta函数，x,y属于实数

你的名字将作为第二作者出现在我的论文之中。

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记录一下来历，免得以后写回忆录的时候忘了。

08-05-14晚，急诊手术做到夜里1点半。

08-05-15，从10am睡觉到2pm。醒来时突然有了灵感

08-05-15，4pm-6pm，反复测试，突然直接猜到答案。

08-05-15晚，优化，获得答案。

08-05-16，讨论，四处寻求证明。 

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update:

自己证出来了！ 

update: 还没 

----update----

与cos(f(x,y))效果相似的几个函数还有 

angle(f(x,y)-pi/2)，round(cos(f(x,y)))

其实这两个函数都是cos的近似，因为sin(x)可以近似=x一开始我最先猜到的是angle函数，后来才改进成为cos; round的好处是二值函数，0,1。很容易工业化生产，容易加工，拿个金属片打孔就是，甚至可以用做电路板的方法来做。如果x,y是在有限的空间，那么FT以后出现的不是delta函数，但是如果扩展x,y的定义域，就能够逼近delta函数。

---2am---

这几天连续的失眠。想不出来为什么，物理意义何在？ 

====update===

修正下问题，似乎理解错误。应该是abs{FT(cos(f(x,y))exp(-i*f(x,y)))} ^2是delta函数。

需要考虑能量守恒。

对cos(f(x,y))dxdy的积分反应了总的能量透过率，可以当作是总能量。

做二维求模取平方以后，仍然反应的是能量，所以，对这个数积分，也仍然应该等于对cos的积分。不知道利用这个条件以后是否能够好做一些。

===5-24===

昨天证出来一部分。对于任意的f(x,y),都有delta项，而且其他的部分的积分是一个有限的常数。剩下的继续郁闷中